SUCESOS

Para introducirnos en el mundo de los sucesos haremos una breve parada en los espacios muestrales y sus conclusiones. Entenderemos por espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Este experimento aleatorio lo definiremos como aquél que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular.


El ejemplo más claro es el lanzamiento de una moneda o de un dado. Al espacio muestral se le suele denominar "E" y se entiende por punto muestral cada uno de los elementos que lo forman. En nuestros dos ejemplos básicos sería:


Lanzar una moneda => E = {cara,cruz}
Lanzar un dado => E = {1,2,3,4,5,6}




Tras esta pequeña introducción pasamos a la definición de suceso. Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral "E". El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se conoce como espacio de sucesos y se representa por "S".


Ante este atropello de definiciones podemos llegar a pensar que suceso y punto muestral es lo mismo, pero realmente no lo es. Un ejemplo claro lo podemos ver con el lanzamiento del dado, un suceso sería por ejemplo que salga número par, para lo cuál no servirían los puntos muestrales [2,4,6]. De ahí las diferencias entre unos y otros.


En la práctica sobre cada espacio muestral, asociaremos un espacio de sucesos. Como ejemplo para lanzar una moneda al aire, tendremos el siguiente cuadro:
E= {Cara, Cruz}
S= {{Ø}, {Cara}, {Cruz}, {Cara,Cruz}}
Llevado prácticamente al mundo de nuestras apuestas, consideremos el partido de la final pasada de Wimbledon que enfrentó a Roger Federer y Rafael Nadal. El esquema sería:

E= {Federer, Nadal}
S= {{No Gana Nadie}, {Federer}, {Nadal}, {Ganan Ambos}}

De este ejemplo sacaremos los diferentes tipos de sucesos que se nos pueden presentar:

Suceso Elemental: aquéllos formados por un único punto muestral.

Suceso Compuesto: aquéllos formados por dos o más puntos muestrales.

Suceso cierto o seguro: el que siempre se realiza, es decir, coincide con el espacio muestral y estará formado por todos los resultados posibles del experimento.

Suceso Imposible: se designa por "Ø" y es aquél que no se realiza nunca. En nuestro espacio de sucesos siempre aparecerán el suceso cierto y el imposible.
Suceso Contrario: dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se denomina suceso contrario del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente. Se designa por à o A'. El conjunto A' está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

INTRODUCCION

Estadística Descriptiva se refiere a la recolección, presentación, descripción, análisis e interpretación de una colección de datos, esencialmente consiste en resumir éstos con uno o dos elementos de información (medidas descriptivas) que caracterizan la totalidad de los mismos. La estadística Descriptiva es el método de obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre si mismos y no sobrepasan el conocimiento proporcionado por éstos. Puede utilizarse para resumir o describir cualquier conjunto ya sea que se trate de una población o de una muestra, cuando en la etapa preliminar de la Inferencia Estadística se conocen los elementos de una muestra.

MEDIA ARITMÉTICA

Es una medida matemática, un número individual que representa razonablemente el comportamiento de todos los datos.

Para datos no agrupados X = S xi / n
Para datos agrupados X = S fi Xi / S fi
donde Xi es la marca de clase para cada intervalo y fi es la frecuencia de clase

Características de la Media:
1. En su cálculo están todos los valores del conjunto de datos por lo que cada uno afecta la media.
2. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media es cero.
3. La suma del cuadrado de las desviaciones de una serie de datos a cualquier número A es mínimo si A = X

4. Aunque es confiable porque refleja todos los valores del conjunto de datos puede ser afectada por los valores extremos, y de esa forma llegar a ser una medida menos representativa, por lo que si la distribución es asimétrica, la media aritmética no constituye un valor típico.

LA MODA

Es el valor de un conjunto de datos que ocurre más frecuentemente, se considera como el valor más típico de una serie de datos.
Para datos agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene más frecuencia.
La moda puede no existir o no ser única, las distribuciones que presentan dos o más máximos relativos se designan de modo general como bimodales o multimodales.

Características de la Moda.

1. Representa más elementos que cualquier otro valor
2. No está afectada por los valores extremos pero para datos continuos es dudoso su cálculo.
3. La moda para una distribución de frecuencias de datos agrupados no puede ser calculada exactamente, el valor de la moda puede ser afectado por el método de agrupación de los intervalos de clase.
4. La moda no permite conocer la mayor parte de los datos
5. Algunas veces el azar interviene de manera importante y hace que un valor no representativo se repita frecuentemente.
6. Puede usarse para datos cuantitativos como cualitativos
7. La moda como estadístico, varía mucho de una muestra a otra
8. Cuando se tienen dos o más modas es difícil su interpretación
9. Tiene la ventaja de que los datos desproporcionados con respecto al resto no la distorsionan, pero no se presta para un tratamiento matemático.

LA MEDIANA

Es el valor de la observación que ocupa la posición central de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es el valor medio o la media aritmética de los valores medios. La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de él un número de casos igual al que deja por arriba.
Geométricamente la mediana es el valor de la variable que corresponde a la vertical que divide al histograma en dos áreas iguales.
Cuando determinados valores de un conjunto de observaciones son muy grandes o pequeños con respecto a los demás, entonces la media aritmética se puede distorsionar y perder su carácter representativo, en esos casos es conveniente utilizar la mediana como medida de tendencia central.

Características de la mediana

1. Es un promedio de posición no afectado por los valores extremos.
2. No está definida algebraicamente
3. Cuando la localización del elemento central puede ser determinada y los límites de clase mediana son conocidos, la mediana para la distribución de frecuencias puede ser calculada por interpolación, no importando que ésta contenga intervalos abiertos, cerrados, iguales o diferentes.

4. La suma de los valores absolutos, sin considerar el signo, de las desviaciones individuales respecto a la mediana es mínimo.
5 La mediana en caso de una distribución asimétrica, no resulta desplazado del punto de tendencia central.
6. Si el universo tiene curtosis excesiva la mediana como estadístico, varía menos que cualquier otra medida.
7. Si la mediana se calcula por interpolación y hay lagunas en los valores de la clase mediana o los datos son irregulares, esta medida no es buena ya que su ubicación puede resultar falsa.
8. Si se desea ubicar las condiciones de un elemento en una clase, la mediana resulta se indicada, ya que por comparación pone en evidencia si un elemento está en la mitad superior a ella o en la inferior.

AXIOMA DE PROBABILIDAD

Primer axioma

La probabilidad de un suceso A es un numero real entre 0 y 1.

Segundo axioma

Un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio muestral ocurre con probabilidad 1.

Es decir la probabilidad del espacio muestral es igual a 1

Tercer axioma

Si A1, A2… son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Ejemplo:

Lanzar un dado, y calcular la probabilidad del evento sale un numero cualesquiera.

NOTA: Los axiomas 1 y 2 establecen los limites de probabilidad de evento en el rango 0 >= P(A) <= 1.

Se lanza un dado calcular la probabilidad de que caiga aguila. P(A)= 0/6 = 0 ~Evento Imposible

PROBABILIDAD

INTRODUCCION


Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones


 Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas. 





EJEMPLOS:


A continuación, exponemos 3 problemas muy sencillos que muestran muy a groso modo, solo unas cuantas de las aplicaciones de la probabilidad a la vida cotidiana así como su solución matemática, esperando que sean de gran utilidad para ustedes y puedan así comenzar a adrentarse a este universo de conocimientos.

1.- En un estudio de ejercicios aeróbicos, las personas son asignadas de manera aleatoria a cinco grupos de diferentes ejercicios. Escribe una lista de los sucesos elementales de:

a) Espacio Muestral
b) Cada uno de los siguientes eventos:
     A= Se asignan al grupo 3
     B=Asignado a uno de los tres primeros grupos
     C= Asignado al grupo 4 o 5
c) Asignar la probabilidad a cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral y la probabilidad del evento. 

SOLUCION:

 a) Ω = { A1, A2, A3, A4, A5 }
b) A = { A3 }
     B= { A1, A2, A3 }
     C= { A4, A5 }
c) P(A)= 1/5
    P(B)= 3/5
    P(C)= 2/5  

2.- Se lanza un dado de seis caras:

a) Describe el espacio muestral
b) ¿Cual es la probabilidad de obtener un número mayor que 3? 

SOLUCION:

a) Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
b) P(Número>3)= 1/3  

3.- Un grupo de personas esta compuesto por 2 niños menores de 12 años, 3 adolescentes y 5 adultos. Se debe seleccionar a una persona al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea un adulto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mayor de 12 años? 

SOLUCION:

a) P(Adulto)= 1/5
b) P(Persona>12años)= 4/5

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:


NO influye el orden en que se colocan.

Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Ejemplo: Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.



Existen dos tipos de combinación: combinación sin repetición y combinación con repetición.

Combinación sin repetición: se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Combinación con repetición: se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = n! /r!(n-r)!

PERMUTACIONES

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.


Ejemplo: Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente calificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta. La segunda calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8 restantes. La tercera calificación podría ser obtenida por uno de los 7 restantes.

La cantidad de permutaciones posibles sería: P(9,3) = 9*8*7 = 504 combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas.

nPr = n!/(n-r)!